问题
选择题
| 设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C所对的边，研究A=2B是a2=b（b+c）的什么条件？以下是某同学的解法： 由A=2B，得sinA=sin2B，即：sinA=2sinB•cosB⇒a=2bcosB ⇒a=2b•
=b（b+c）（c-b） 所以，b=c或a2=b（b+c） 由此可知：A=2B是a2=b（b+c）的必要非充分条件． 请你研究这位同学解法的正误，并结合自己的思考，可以得到“A=2B”是“a2=b（b+c）”的（ ）条件．
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答案
此同学的解法是错误的，这是因为当b=c时，亦有a2=b（b+c），这是一个特殊情况，这说明此解法有不完善之处，正确证明过程如下：
先证a2=b（b+c）是A=2B的充分条件
∵a2=b（b+c）
∴4R2sinA2=4R2sinB（sinB+sinC）
∴sinA2=sinB（sinB+sinC）
∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinB×sinC
又sinA-sinB=2sin
cosA-B 2 A+B 2
sinA+sinB=2sin
cosA+B 2 A-B 2
∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）
=2sin
cosA-B 2
×2sinA+B 2
cosA+B 2 A-B 2
=sin（A-B）sin（A+B）
又sin（A-B）sin（A+B）=sinB×sinC=sinB×sin（A+B）
∴sin（A-B）=sinB
∴A-B=B
∴A=2B
再证a2=b（b+c）是A=2B的必要条件，
由上证每步都可逆，故A=2B时，亦有a2=b（b+c），即A=2B是a2=b（b+c）的充分条件
综上得，该同学证明错误，应为充要条件
故选C