设数列{an}的前n项积为Tn，已知对∀n，m∈N+，当n＞m时，总有TnTm=

问题解答题

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n•T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

答案

（1）证明：设m=1，则有

=Tn-1•qn-1，∴

Tn-1

=a1•qn-1

∴an=a1•qn-1

∴n≥2时，

an-1

∴数列{a_n}是等比数列；

（2）当q=1时，a_n=a₁，∴Tn=a1n，∴T_n•T_k=a1n+k=a12m=Tm2

当q≠1时，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

∴T_n•T_k=a1n•q

n(n-1)

•a1k•q

k(k-1)

=a1n+k•q

n(n-1)+k(k-1)

∵Tm2=a12m•qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n

∴a12m=a1n+k，

n(n-1)+k(k-1)

n2+k2

-m＞(

n+k

)2-m=m2-m

∴q＞1时，T_n•T_k＞Tm2；q＜1时，T_n•T_k＜Tm2

（3）证明：由（1）知，充分性成立；

必要性：若数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，则an=a1•qn-1

∴q≠1时，Tn=a1n•q

n(n-1)

∴

a1n•q

n(n-1)

a1m•q

m(m-1)

=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

Tn-m•q(n-m)m=a1n-m•q

(n-m)(n-m-1)

•q^（n-m）m=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

∴

=Tn-m•q(n-m)m

∴对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）

同理可证，当q=1时，也成立

∴命题p：“对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件．