问题 解答题
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+
2
ab=c2
(1)求C;
(2)设cosAcosB=
3
2
5
cos(α+A)cos(α+B)
cos2α
=
2
5
,求tanα的值.
答案

(1)∵a2+b2+

2
ab=c2,即a2+b2-c2=-
2
ab,

∴由余弦定理得:cosC=

a2+b2-c2
2ab
=
-
2
ab
2ab
=-
2
2

又C为三角形的内角,

则C=

4

(2)由题意

cos(α+A)cos(α+B)
cos2α
=
(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)
cos2α
=
2
5

∴(cosA-tanαsinA)(cosB-tanαsinB)=

2
5

即tan2αsinAsinB-tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB=

2
5

∵C=

4
,A+B=
π
4
,cosAcosB=
3
2
5

∴sin(A+B)=

2
2
,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
3
2
5
-sinAsinB=
2
2
,即sinAsinB=
2
10

2
10
tan2α-
2
2
tanα+
3
2
5
=
2
5
,即tan2α-5tanα+4=0,

解得:tanα=1或tanα=4.

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