已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

•

的取值范围．

答案

（1）由题意知 e=

，∴e²=

a2-b2

，即a²=

b^{2
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
6
=0相切
∴b=
6
1+1
=
3，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为
x2
4
+y2
3
=1
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜
1
4

设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则x₁+x₂=
32k2
3+4k2
，x₁x₂=64k2-12
3+4k2
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)•64 k2-12
4k2+3
-4k2•32k2
4k2+3
+16k2=25-87
4k2+3
∵0≤k2＜
1
4
，
∴
OA
•
OB
∈[-4，13
4
)
∴
OA
•
OB
的取值范围是[-4，13
4
)}