由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得由S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

故可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n∴a_n+1-a_n=1，即数列{a_n}是等差数列，首项为x公差为1，∴a_n=x+（n-1）（n∈N^*）

（2）由题意S_n=kS_2n，即xn+

1

2

n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0，当x=

1

2

，k=

1

4

时，该式恒成立即：当x=

1

2

时，

Sn

S2n

=

1

4

，∴x=

1

2

，k=

1

4

即为所求

（3））证明：充分性若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k

则（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik

若i+k-2j=0，则j²-ik=0，∴i=j=k与i＜j＜k矛盾．i+k-2j≠0

∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非负数，∴x是有理数；

必要性：若x是有理数，且x≤0，则必存在正整数k，使x+k＞0，令y=x+k，则正项数列y，y+1，y+2…是原数列

x，x+1，x+2…的一个子数列，只要正项数列y，y+1，y+2…中存在三个不同的项构成等比数列则原数列中必有3个不同项构成等比数列，

不失一般性，不妨设x＞0，记x=

n

m

（m，n∈N^*，且m，b互质），又设k，l∈N^*，l＞k，且x，x+k，x+l成等比数列，则（x+k）²=x（x+l）⇒2k+

m

n

k2，为使l为整数，可令k=2n，于是l=2n+mn=n（m+2），可知x，x+n，x+n（m+2），成等比数列，证毕