问题
解答题
在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：|
（l）求曲线C的方程； （2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN．试探究kPM•kPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论； （3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，|
|
答案
（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴
+MA
=(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y)，MB
由此可得，|
+MA
|=MB
=(-2x)2+(2-2y)2
，4x2+4y2-8y+4
又∵|
+MA
|=4-MB 1 2
•(OM
+OA
)，且4-OB 1 2
•(OM
+OA
)=4-OB
(x，y)•(0，2)=4-y，1 2
∴
=4-y，4x2+4y2-8y+4
化简整理得：
+x2 3
=1，即为所求曲线C的方程．y2 4
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴
+x2 3
=1，…①．y2 4
+x 20 3
=1，…②y 20 4
①-②，得
=-y2- y 20 x2- x 20
．4 3
又∵kPM=
，kPN=y-y0 x-x0
，y+y0 x+x0
∴kPM•kPN=
•y-y0 x-x0
=y+y0 x+x0
=-y2- y 20 x2- x 20
，4 3
因此，kPM•kPN的值恒等于-
，与点P的位置和直线L的位置无关．4 3
（3）由于P（x，y）在椭圆C：
+x2 3
=1上运动，可得x2=3-y2 4
y2且-2≤y≤23 4
∵
=（x，y-m），MP
∴|
|=MP
=x2+(y-m)2
=
y2-2my+m2+31 4
(y-4m)2-3m2+31 4
由题意，点P的坐标为（0，2）时，|
|取得最小值，MP
即当y=2时，|
|取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得m≥MP
．1 2
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴
≤m≤2，实数m的取值范围是[1 2
，2]．1 2