问题 解答题
已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是-
1
2
,求直线AB的方程;
(Ⅱ)设点M的坐标为(-
7
3
,0)
,求
MA
MB
的值.
答案

(Ⅰ)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,(1)
x1+x2=-
6k2
3k2+1
.(2)

由线段AB中点的横坐标是-

1
2
,得
x1+x2
2
=-
3k2
3k2+1
=-
1
2

解得k=±

3
3
,适合(1).

所以直线AB的方程为x-

3
y+1=0,或x+
3
y+1=0

(Ⅱ)①当直线AB与x轴不垂直时,由(Ⅰ)知x1+x2=-

6k2
3k2+1
x1x2=
3k2-5
3k2+1
.(3)

所以

MA
MB
=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+y1y2=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+
7
3
)(x1+x2)+k2+
49
9
.

将(3)代入,整理得

MA
MB
=
(k2+1)(3k2-5)+(k2+
7
3
)(-6k2)
3k2+1
+k2+
49
9
=
4
9
.

②当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为(-1,

2
3
)、(-1,-
2
3
),

此时亦有

MA
MB
=
4
9
.

综上,

MA
MB
=
4
9
.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题