问题
解答题
已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点. (Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是-
(Ⅱ)设点M的坐标为(-
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答案
(Ⅰ)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),
将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,(1) x1+x2=-
.(2)6k2 3k2+1
由线段AB中点的横坐标是-
,得1 2
=-x1+x2 2
=-3k2 3k2+1
,1 2
解得k=±
,适合(1).3 3
所以直线AB的方程为x-
y+1=0,或x+3
y+1=0.3
(Ⅱ)①当直线AB与x轴不垂直时,由(Ⅰ)知x1+x2=-
,x1x2=6k2 3k2+1
.(3)3k2-5 3k2+1
所以
•MA
=(x1+MB
)(x2+7 3
)+y1y2=(x1+7 3
)(x2+7 3
)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+7 3
)(x1+x2)+k2+7 3
.49 9
将(3)代入,整理得
•MA
=MB
+k2+(k2+1)(3k2-5)+(k2+
)(-6k2)7 3 3k2+1
=49 9
.4 9
②当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为(-1,
)、(-1,-2 3
),2 3
此时亦有
•MA
=MB
.4 9
综上,
•MA
=MB
.4 9