问题 填空题
已知sin α+cos α=
3
5
5
,α∈(0,
π
4
),sin(β-
π
4
)=
3
5
,β∈(
π
4
π
2
).则cos(α+2β)的值为______.
答案

∵β∈(

π
4
π
2
),β-
π
4
(0,
π
4
),∴cos(β-
π
4
)=
4
5
,于是sin2(β-
π
4
)=2sin(β-
π
4
)cos(β-
π
4
)=
24
25

又sin2(β-

π
4
)=-cos2β,∴cos2β=-
24
25

又2β∈(

π
2
,π),∴sin2β=
7
25

由sin α+cos α=

3
5
5
,α∈(0,
π
4
),以及cos2α+sin2α=1,可得cosα=
2
5
,sinα=
1
5

∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=

2
5
5
×
-24
25
-
5
5
×
7
25
=-
11
5
25

故答案为-

11
5
25

单项选择题
单项选择题