问题 问答题

如图所示,光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L=l m,与水平夹角为θ=30°,导轨上端用导线CE连接(导轨和连接线电阻不计),导轨处在磁感应强度为B=0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中.一根电阻为R=1Ω的金属棒MN两端有导电小轮搁在两导轨上,棒上有吸水装置P.取沿导轨向下为x轴正方向,坐标原点在CE中点,开始时棒处在x=0位置(即与CE重合),棒的起始质量不计.当棒自静止起下滑时,便开始吸水,质量逐渐增大,设棒质量的增大与位移x的平方根成正比,即m=k

x
,k为一常数,k=0.1kg/m.求:

(1)金属棒下滑2m位移过程中,流过棒的电荷量是多少?

(2)猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动,并加以证明.

(3)金属棒下滑2m位移时速度为多大?

答案

(1)金属棒下滑1m过程中,流过棒的电量为 

   q=

△Φ
R
=
BLx
R
=
0.1×1×2
1
C=0.2C

(2)由于棒从静止开始运动,因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动,然后通过受力分析,看看加速度可能如何变化.

如图所示,棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F.由于m随位移x增大而增大,所以,mgsinθ是一个变力;而安培力与速度有关,也随位移增大而增大,如果两个力的差值恒定,即合外力是恒力的话,棒有可能做匀加速运动. 假设棒做的是匀加速运动,且设下滑位移x时的加速度为ax,根据牛顿第二定律,有

   mgsinθ-F=max

 而安培力F=BIL=B

BLv
R
L=
B2L2v
R

所以mgsinθ-

B2L2v
R
=max

假设棒做匀加速直线运动,则瞬时速度v=

2axx
,由于m=k
x
,代入后得:k
x
gsinθ-
B2L2
2axx
R
=k
x
ax

则得kgsinθ-

B2L2
2ax
R
=kax,①

从上述方程可以看出的解ax是一个定值,与位移x无关,这表明前面的假设成立,棒的运动确实是匀加速直线运动.若ax与位移x有关,则说明ax是一个变量,即前面的假设不成立.

(3)为了求棒下滑2m时的速度,应先求出棒的加速度.将题目给出的数据代①式得到

   0.1×10×

1
2
-
2
×0.01×1
1
a
=0.1a

化简得 10a+

2
a
-50=0

令y=

a
,则得 y2+
2
y-50=0

解得,a=4.69m/s2

根据匀变速运动规律,v=

2axx
=
2×4.69×2
=4.33m/s

答:(1)金属棒下滑2m位移过程中,流过棒的电荷量是0.2C.

(2)猜测金属棒下滑过程中做的是做匀加速运动,证明如上.

(3)金属棒下滑2m位移时速度为4.33m/s.

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