已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=3

问题解答题

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=

(b2+c2-a2)．
（1）求角A的正弦值；
（2）若a=3，b＜c，S=6，D为△ABC内任意一点，且到三边距离之和为d．①求边b，c的长；②求d的取值范围．

答案

（1）由条件，△ABC的面积S=

(b2+c2-a2)，

而b²+c²-a²=2bccosA，

∴S=

bccosA…（3分）

又△ABC的面积S=

bcsinA，

cosA=sinA

由于sin²A+cos²A=1，所以sinA=

． …（6分）

（2）①由a=3，S=6，b²+c²=41

又S=

bcsinA=

bc=6，

∴bc=20…（8分）∵b＜c，

∴b=4，c=5…（10分）

②由b=4，c=5，∵a=3，∴△ABC为直角三角形

建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3）

设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y），

它到AB的距离为z，

则S=

(3x+4y+5z)=6，

而d=x+y+z=

(2x+y)…（12分）

由图知，（x，y）满足

x＞0

y＞0

3x+4y＜12

…（14分）

根据线性规划知识，得

＜d＜4，

所以，d的取值范围为(

，4)． …（16分）