问题
解答题
| 已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，2），P3（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点． （Ⅰ）求圆C的方程 （Ⅱ）当
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答案
（Ⅰ）设圆C的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）（1分）
则
，解得1+D+F=0 1+4+D+2E+F=0 4+1+2D+E+F=0 D=-2 E=-2 F=1
∴圆C的方程x2+y2-2x-2y+1=0，化成标准形式得（x-1）2+（y-1）2=（15分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0）
由
，消y得（1+k2）x2-2（k+1）x+1=0（7分）y=kx x2+y2-2x-2y+1=0
由题意得△=4（1+k）2-4（1+k2）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=
，即x0=2(1+k) 1+k2
，y0=(1+k) 1+k2 k(1+k) 1+k2
∴点G(
，(1+k) 1+k2
)k(1+k) 1+k2
又∵
=(1，1)（9分）OC
∴
•OC
=OG
+k+1 k2+1
=k2+k k2+1
=1+k2+2k+1 k2+1
=1+2k k2+1 2 k+ 1 k
∵
≤2 k+ 1 k
=1，∴2 2 k• 1 k
•OC
=1+OG
≤2（13分）2 k+ 1 k
因此，可得当k=
即k=1时，1 k
•OC
取得最大值是2（13分）OG
此时直线l的方程为y=x（14分）