已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2tcosθy=2sinθ（t为

问题解答题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ

y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-

）=2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

•

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

答案

（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：

+y²=4．…（2分）

①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）

联立直线与曲线的方程，消y得

+（x+4）²=4，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3

又x₁+x2=-

8t2

1+t2

，x₁x₂=

12t2

1+t2

，…（ …（10分）

故

•

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+4）（x₂+4）=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．

解得t²=3与t²＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）