问题
解答题
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状； （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
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答案
（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4．…（2分）x2 t2
①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）
联立直线与曲线的方程，消y得
+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．x2 t2
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3
又x1+x2=-
，x1x2=8t2 1+t2
，…（ …（10分）12t2 1+t2
故
•OA
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．OB
解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（12分）
