问题
解答题
抛物线x2=8y的准线与坐标轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，P为MN中点，且（
（1）求|
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出点B；若不存在，说明理由． |
答案
（1）抛物线为x2=8y，准线为y=-2，
∴A（0，-2）．
MN的中点为P，∵（
+BM
）•MP
=0，MN
∴
•BP
=0，∴PB垂直平分线段MN，MN
设MN为：y=kx-2，与x2=8y联立，得
x2-8kx+16=0．
xM+xN=8k，xMxN=16．
由△＞0⇒64k2-4×16＞0⇒k2＞1．
又点P坐标为：xP=
=xM+xN 2
=4k，yP=kxP-2=4k2-2．8k 2
∴直线PB方程为：y-4k2+2=-
(x-4k)．1 k
令x=0，得y=2+4k2＞6，∴|
|的取值范围是（6，+∞）；OB
（2）存在点B（0，10）为所求．
事实上，若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．
因为由（1）知PB垂直平分线段MN，
所以|BP|=
，|MN| 2
由B（0，2+4k2），P（4k，4k2-2），
∴|BP|=
=4(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2
．k2+1
|MN|=1 2 1 2 1+k2 (xM+xN)2-4xMxN
=1 2 1+k2
=464k2-64
．k4-1
∴4
=4k2+1
．k4-1
解得，k2=2，
∴点B（0，10）为所求．