（1）将sinx+cosx=

1

5

②两边平方得：（sinx+cosx）²=

1

25

，

∴1+2sinxcosx=

1

25

，即2sinxcosx=-

24

25

＜0，

∵x∈（0，π），∴sinx＞0，cosx＜0，

∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

，

∴sinx-cosx=

7

5

②，

联立①②解得：sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，

则tanx=

sinx

cosx

=-

4

3

；

（2）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sin（α+β）=

5

13

＞0，cosα=

3

5

，

∴

π

2

＜α+β＜π，

∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，sinα=

1-cos2α

=

4

5

，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65