（1）设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得m=0，m=

4

5

．

故所求点P的坐标为P（0，0）或（

4

5

，

8

5

）．  …（4分）

（2）设P（m，2m），则

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB．

又|

PA

|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2

∠PAB

2

=1-

2

PM2

，

∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-

2

PM2

)=PM2+

2

PM2

-3．…（7分）

又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[

16

5

，+∞)，

∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=PM2+

2

PM2

-3=(PM-

2

PM

)2-1∈[

33

40

，+∞)，

故

PA

•

PB

的最小值

33

40

．                                  …（10分）

（3）证明：设P（m，2m），MP的中点Q(

m

2

+1，m)，

因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，

故其方程为(x-

m

2

-1)2+(y-m)2=m2+(

m

2

-1)2，

化简得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）

故

x2+y2-2x=0 -x-2y+2=0

解得

x=2 y=0

或

x= 2 5 y= 4 5 .

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和(

2

5

，

4

5

)．         …（16分）