点A、B分别是以双曲线x216-y220=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭

问题解答题

点A、B分别是以双曲线

=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

•

=0
（I）求椭圆C的方程；
（II）求点P的坐标；
（III）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值．

答案

解（I）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=2

，半焦距c₁=

16+20

=6，

∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴b₂=

62-42

，

∴所求的椭圆方程为

（II）由已知A（-6，0），F（4，0），

设点P的坐标为（x，y），则

=(x+6，y)，

=(x-4，y)，由已知得

(x+6)(x-4)+y2=0

则2x²+9x-18=0，解之得x=

或x=-6，

由于y＞0，所以只能取x=

，于是y=

，所以点P的坐标为(

，

)（9分）

（Ⅲ）直线AP：x-

y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是

|m+6|

，于是

|m+6|

=|m-6|，

又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2

∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5x2

(x-

)2+15

又-6≤x≤6∴当x=

时，d取最小值