已知命题P：“函数y=x+mx+1在（-1，+∞）上单调递增．”命题Q：

问题解答题

已知命题P：“函数y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．”命题Q：“幂函数y=xm2-2m-3在（0，+∞）上单调递减”．
（1）若命题P和命题Q同时为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题P和命题Q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵命题P：“函数y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．”

命题Q：“幂函数y=xm2-2m-3在（0，+∞）上单调递减”．

∴P：m＜1，Q：-1＜m＜3，

∴当命题P和命题Q同时为真时，实数m的取值范围是：-1＜m＜1．

（2）当命题P和命题Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，

当P真Q假时，

m＜1

m≤-1，或m≥3

，

解得实数m的取值范围是：m≤-1．

当P真Q假时，

m≥1

m＜-1，或m≥3

，

解得实数m的取值范围是：1≤m≤3．

综上所述，若命题P和命题Q有且只有一个真命题，

实数m的取值范围（-∞，-1]∪[1，3]．