（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，

∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，

∵sin（α+β）=

5

13

，∴

π

2

＜α+β＜π，

∴cos（α+β）=-

12

13

，

∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

；

（2）由sinx+cosx=

1

5

，得到（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=

1

25

，

∴2sinxcosx=-

24

25

，又x∈（0，π），

∴sinx＞0，cosx＜0，

∴sinx-cosx=

1-2sinxcosx

=

7

5

，

∴sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，

则tanx=-

4

3

．