问题
解答题
| 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心） （I）求圆C的方程； （II）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
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答案
（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(
，y1)，(y 21 2
，y2)，y 22 2
由题设知
=(
)2+y 21 2 y 22
=(
)2+y12 2 y 22 (
-y 21 2
)2+(y1-y2)2y 22 2
解得y12=y22=12，
所以A(6，2
)，B(6，-23
)或A(6，-23
)，B(6，23
)．3
设圆心C的坐标为（r，0），则r=
×6=4，2 3
所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22
又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0
由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(
r，3 4
r)，于是有(3 2
r)2=2×3 2
r，3 2
解得r=4，
所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．
（II）设∠ECF=2α，则
•CE
=|CF
|•|CE
|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．CF
在Rt△PCE中，cosα=
=x |PC|
，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，4 |PC|
所以
≤cosα≤1 2
，由此可得-8≤2 3
•CE
≤-CF
．16 9
则
•CE
的最大值为-CF
，最小值为-8．16 9