问题
解答题
设椭圆C：
（1）求实数λ的取值范围； （2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF1|+|MF2|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程． （3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线，与椭圆交于不同的两点A、B，满足
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答案
解（1）由椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|=2
由λ+1
1•PF
=0可得|PF1|2+|PF2|2=4λPF2
而|PF1|2+|PF2|2≥
∴4λ≥2（λ+1）解得λ≥1（3分）．(|PF1|+|PF2|)2 2
（2）由x-y+2=0，
+y2=1，得（λ+2）x2+4（λ+1）x+3（λ+1）=0x2 λ+1
△=16（λ+1）2-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2
≥2λ+1 3
当仅当λ=2时，|MF1|+|MF2|取得最小值2
，此时椭圆方程为3
+y2=1（8分）x2 3
（3）由
=AQ
知点Q是AB的中点．设两点A（x1，y1），B（x2，y2），中点Q（x，y），则QB
+y12=1x12 3
+y22=1两式相减得x22 3
+(y1-y2)(y1+y2)=0(x 1+x2)(x1-x2) 3
∴
=-y2-y1 x2-x1
∴AB中点Q（x，y）的轨迹为直线y=-x2+x1 3(y2+y1)
x①1 3k
且在椭圆内的部分．又由
•NQ
=0可知，NQ⊥AB，AB
所以直线NQ的斜率为-
，方程为y=-1 k
x-1②1 k
联立①、②可求得点Q的坐标为(-
，3k 2
)1 2
∵点Q必在椭圆内，
+((-
)23k 2 3
)，1，解得k2＜11 2
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）