问题
解答题
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并求函数f（x）取得最大值时x的取值集合；
（Ⅲ）求函数f（x）的增区间
答案
（Ⅰ）f(x)=
(1-cos2x)+sin2x+1 2
(1+cos2x)3 2
=sin2x+cos2x+2=
sin(2x+2
)+2．π 4
令2x+
=kπ得x=π 4
-kπ 2
(k∈Z)，π 8
∴函数f（x）图象对称中心的坐标是(
-kπ 2
， 0)，（k∈Z）．π 8
（Ⅱ）当2x+
=2kπ+π 4
，π 2
即x=kπ+
（k∈Z）时，ymax=2+π 8
．2
∴函数f（x）取得最大值时X的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}．π 8
（Ⅲ）由2kπ-
≤2x+π 2
≤2kπ+π 4
，π 2
得kπ-
≤x≤kπ+3π 8
(k∈Z)，π 8
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+3π 8
](k∈Z)．π 8