问题 解答题
设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n,令平面向量
a
=(m,n)
b
=(1,-3)

(Ⅰ)求使得事件“
a
b
”发生的概率;
(Ⅱ)求使得事件“|
a
|≤|
b
|
”发生的概率;
(Ⅲ)使得事件“直线y=
m
n
x
与圆(x-3)2+y2=1相交”发生的概率.
答案

(I)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6};n∈{1,2,3,4,5,6},

故(m,n)所有可能的取法共6×6=36种(2分)

使得

a
b
,即m-3n=0,

即m=3n,共有2种(3,1)、(6,2),

所以求使得

a
b
的概率P=
2
36
=
1
18
(4分)

(Ⅱ)|

a
|≤|
b
|即m2+n2≤10,

共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种

使得|

a
|≤|
b
|的概率P=
6
36
=
1
6
(8分)

(Ⅲ)由直线与圆的位置关系得,d=

|3m|
m2+n2
<1,

m
n
2
4

共有

1
3
1
4
1
5
1
6
2
6
,5种,

所以直线y=

m
n
x与圆(x-3)2+y2=1相交的概率P=
5
36
(12分)

单项选择题
单项选择题