设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限

问题解答题

设F₁、F₂分别是椭圆

+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且

PF1

•

PF2

，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

答案

（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

．

∴F1(-

，0)，F2(

，0)．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．

则

PF1

•

PF2

=(-

-x，-y)(

-x，-y)=x2+y2-3=-

，又

+y2=1，

联立

x2+y2=

+y2=1

，解得

x2=1

y2=

⇒

x=1

，P(1，

)．

（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

联立

+y2=1

y=kx+2

⇒x2+4(kx+2)2=4⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0

∴x1x2=

1+4k2

，x1+x2=-

16k

1+4k2

由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

．①

又∠AOB为锐角⇔cos∠AOB＞0⇔

•

＞0，

∴

•

=x1x2+y1y2＞0

又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4

∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4

=(1+k2)•

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4

12(1+k2)

1+4k2

2k•16k

1+4k2

4(4-k2)

1+4k2

＞0

∴-

＜k2＜4．②

综①②可知

＜k2＜4，

∴k的取值范围是(-2，-

)∪(

，2)．