已知函数f（x）=ax+b1+x2（x≥0）的图象经过两点A（0，1）和B（3，

问题解答题

已知函数f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0）的图象经过两点A（0，1）和B（

，2-

）．
（I）求f（x）的表达式及值域；
（II）给出两个命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：log₂（m-1）＜1．问是否存在实数m，使得复合命题“p且q”为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意知

f(0)=b=1

)=a

+2b=2-

，解得

a=-1

b=1

，

故f(x)=

1+x2

-x，

由于f(x)=

1+x2

-x=

1+x2+x

在[0，+∞）上递减，所以f（x）的值域为（0，1]．

（2）复合命题“p且q”为真命题，即p，q同为真命题．因为f（x）在[0，+∞）上递减，

故p真⇔m²-m＞3m-4≥0⇔m≥

且m≠2；

q真⇔0＜m-1＜2⇔1＜m＜3，

故存在m∈[

，2)∪(2，3)满足复合命题p且q为真命题．