问题 解答题
已知函数f(x)=2x-m(m∈R),g(x)=ax2+
1
2
ax+1
(a∈R),h(x)=2|x-a|
(Ⅰ)设A:存在实数x使得f(x)≤0(m∈R)成立;B:当a=-2时,不等式g(x)>0有解.若“A”是“B”的必要不充分条件,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设C:函数y=h(x)在区间(4,+∞)上单调递增;D:∀x∈R,不等式g(x)>0恒成立.请问,是否存在实数a使“非C”为真命题且“C∨D”也为真命题?若存在,请求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案

(Ⅰ)由f(x)≤0得x≤

m
2

即A:x≤

m
2
…(2分)

当a=-2时,由g(x)>0得-1<x<

1
2

即B:-1<x<

1
2
…(4分)

∵“A”是“B”的必要不充分条件,

∴{x|x

m
2
}⊇{x|-1<x<
1
2
},

m
2
1
2
即实数m的取值范围为m≥1…(6分)

(Ⅱ)存在.…(7分)

由x∈R,使g(x)>0恒成立得

当a=0时,g(x)=1>0,满足题意…(8分)

当a≠0时,

a>0
△=(
1
2
a)2-4a<0

解得0<a<16…(9分)

∴D:0≤a<16…(10分)

∵“非C”为真命题,∴C为假命题…(11分)

即“函数h(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增”为假命题.

又h(x)=2|x-a|在(a,+∞)上单调递增,

∴a>4…(12分)

又“C∨D”为真命题,∴D为真命题…(13分)

∴0≤a<16且a>4,

∴4<a<16

故存在实数a使“非C”为真命题且“C∨D”也为真命题,

所求实数a的取值范围为4<a<16…(14分)

单项选择题
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