设两非零向量e1和e2不共线．（1）如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，

问题解答题

设两非零向量e₁和e₂不共线．
（1）如果

=e₁+e₂，

=2e₁+8e₂，

=3（e₁-e₂），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁与e₂的夹角为60°，试确定k的值，使ke₁+e₂与e₁+ke₂垂直．

答案

（1）证明：

=6（e₁+e₂）=6

，

∴

∥

，

与

有公共点A．

∴A、B、D三点共线．

（2）∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共线，

∴存在λ使ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），

即（k-λ）e₁+（1-λk）e₂=0．

∵e₁与e₂为非零不共线向量，

∴k-λ=0且1-λk=0．

∴k=±1．

（3）由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，

k|e₁|²+（k²+1）e₁•e₂+k|e₂|²=0，得

k×2²+（k²+1）×2×3×cos60°+k×3²=0

⇒4k+3k²+3+9k=0⇒3k²+13k+3=0，

∴k=

-13±

133

．