问题
解答题
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足
（Ⅰ）求点C的轨迹方程； （Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程． |
答案
（Ⅰ）：由
=tOC
+(1-t)OM
(t∈R)ON
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=
(x-1)即y=x-4（3分）1-(-3) 4
（Ⅱ）由
⇒(x-4)2=4x⇒x2-12x+16=0（5分）y=x-4 y2=4x
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）
∴x1x2+y1y2=0故
⊥OA
（10分）OB
（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵
⊥OA
，∴|OC|=2OB
为圆的半径．10
∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）
