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问题 解答题
先观察下列等式，再回答下列问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
答案

（1）

1+
1
42
+
1
52
=1+
1
4
-
1
4+1
=1
1
20
，

验证：

1+
1
42
+
1
52
=
1+
1
16
+
1
25
=
1+
25
400
+
16
400
=
441
400
=1
1
20
；

（2）

1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
=1+
1
n(n+1)
（n为正整数）．

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