问题
填空题
下列关于圆锥曲线的命题:其中真命题的序号______.(写出所有真命题的序号). ①设A,B为两个定点,若|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹为双曲线; ②设A,B为两个定点,若动点P满足|PA|=10-|PB|,且|AB|=6,则|PA|的最大值为8; ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线
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答案
①根据双曲线的定义可知,满足|PA|-|PB|=2的动点P不一定是双曲线,这与AB的距离有关系,所以①错误.
②由|PA|=10-|PB|,得|PA|+|PB|=10>|AB|,所以动点P的轨迹为以A,B为焦点的图象,且2a=10,2c=6,所以a=5,c=3,根据椭圆的性质可知,|PA|的最大值为a+c=5+3=8,所以②正确.
③方程2x2-5x+2=0的两个根为x=2或x=
,所以方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率,所以③正确.1 2
④由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在x轴上,而椭圆的焦点在y轴上,所以它们的焦点不可能相同,所以④错误.
故正确的命题为②③.
故答案为:②③.