问题
填空题
| 设max{sinx，cosx}表示sinx与cosx中的较大者．若函数f（x）=max{sinx，cosx}，给出下 * * 个结论： ①当且仅当x=2kπ+π（π∈Z）时，f（x）取得最小值； ②f（x）是周期函数； ③f（x）的值域是[-1，1]； ④当且仅当＜x＜2kx+
⑤f（x）以直线x=kx+
其中正确结论的序号为______． |
答案
由定义可知，当sinx≥cosx时，解得
-
+2kπ≤x≤3π 4
+2kπ，k∈Zπ 4
．当sinx＜cosx时，解得
+2kπ＜x＜π 4
+2kπ，k∈Z．5π 4
作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图：取函数的最大值，即为函数f（x）=max{sinx，cosx}，
A．由图象可知，当x=2kπ+
（k∈Z）时，f（x）取得最小值，所以①错误．5π 4
②函数以2π为周期的周期函数，所以②正确．
③由①知函数的最小值为-
，所以f（x）的值域是[-2 2
，1]，所以③错误．2 2
④由f（x）＜0，解得2kπ+π＜x＜2kπ+
（k∈Z），所以④正确．3π 2
⑤f（x）的对称轴为x=2kπ+
或x=2kπ+5π 4
，即x=kx+π 4
（k∈Z），所以⑤正确．π 4
正确结论的序号为②④⑤．
故答案为：②④⑤．