（1）

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ），则

|

b

+

c

|²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．

∵-1≤cosβ≤1，

∴0≤|

b

+

c

|²≤4，即0≤|

b

+

c

|≤2．

当cosβ=-1时，有|b+c|=2，

所以向量

b

+

c

的长度的最大值为2．

（2）由（1）可得

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ），

a

•（

b

+

c

）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．

∵

a

⊥（

b

+

c

），

∴

a

•（

b

+

c

）=0，即cos（α-β）=cosα．

由α=

π

4

，得cos（

π

4

-β）=cos

π

4

，

即β-

π

4

=2kπ±

π

4

（k∈Z），

∴β=2kπ+

π

2

或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．