已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的

问题解答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线l：

x=t

y=2+2t

（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：

•

=0．

答案

（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为 y=2x+2．

由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为 x²=2y．

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2

x2=2y

消去y得 x²-4x-4=0，

∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=-4，∴y₁y₂=

•

=4，∴

•

=x₁x₂+y₁y₂=0．