问题
填空题
| 下列命题： （1）若函数f(x)=lg(x+
（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π； （3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根； （4）对于函数f(x)=
以上命题为真命题的是______．（将所有真命题的序号填在题中的横线上） |
答案
（1）∵函数f(x)=lg(x+
)为奇函数，x2+a
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+
)=lg0+a
=0，a
∴
=1，即a=1；a
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+
sin(x+2
)|，π 4
又由y=
sin(x+2
)的周期是2π，将其函数图象上移一个单位后得到y=π 4
sin(x+2
)+1的图象，π 4
然后再将X轴下方的图象沿X轴旋转180°，得到f（x）=1+
sin(x+2
)|的图象，π 4
∴函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx与y=sinx的图象，由于y=lgx在（0，∞）上为增函数且l，g10=1，lg1=0，
故在区间（0，π）内y=lgx与y=sinx有一个交点，在（π，2π）内无交点，在（2π，3π）内有三个交点，
∴方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
（4）∵函数f(x)=
是单调递增的凸函数，∴在0＜x1＜x2，则f(x
)＞x1+x2 2
，f(x1)+f(x2) 2
∴若0＜x1＜x2，则f(
)＜x1+x2 2
是错误的；f(x1)+f(x2) 2
故答案为（1）（2）（3）．