问题
选择题
对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合: ①{
②{x∈R|x≠0}; ③{
④Z. 其中以0为“聚点”的集合是( )
|
答案
①令f(n)=
,则f(n+1)-f(n)=n n+1
-n+1 n+2
=n n+1
>0,即f(n)=1 (n+1)(n+2)
当n∈N时单调递增,则1为其“聚点”,下面给出证明:n n+1
取x0=1,对任意正数a,要使0<|
-1|=|n n+1
|<a成立,只要取正整数n=[1 n+1
-1]+2,故1是其“聚点”;1 a
②由实数的稠密性可知:对任意正数a,都存在x=
∈{x∈R|x≠0},使0<|x-0|<a成立,故0是此集合的“聚点”;a 2
③∵
=1-1 n+1
,由(1)可知:0为集合{n n+1
|n∈Z,n≠0},根据“聚点”的定义可知,0是其聚点;1 n
④∀n∈Z,且n≠0,则|n|≥1,故取0<a<1,则不存在x∈Z,使0<|x-x0|<a成立,根据“聚点”的定义可知:所给集合不存在聚点.
综上可知:只有②③正确;
故选A.