问题 选择题
对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:
{
n
n+1
|n∈Z,n≥0}

②{x∈R|x≠0};
{
1
n
|n∈Z,n≠0}

④Z.
其中以0为“聚点”的集合是(  )
A.②③B.①②C.①③D.②④
答案

①令f(n)=

n
n+1
,则f(n+1)-f(n)=
n+1
n+2
-
n
n+1
=
1
(n+1)(n+2)
>0
,即f(n)=
n
n+1
当n∈N时单调递增,则1为其“聚点”,下面给出证明:

取x0=1,对任意正数a,要使0<|

n
n+1
-1|=|
1
n+1
|<a成立,只要取正整数n=[
1
a
-1]+2
,故1是其“聚点”;

②由实数的稠密性可知:对任意正数a,都存在x=

a
2
∈{x∈R|x≠0},使0<|x-0|<a成立,故0是此集合的“聚点”;

③∵

1
n+1
=1-
n
n+1
,由(1)可知:0为集合{
1
n
|n∈Z,n≠0
},根据“聚点”的定义可知,0是其聚点;

④∀n∈Z,且n≠0,则|n|≥1,故取0<a<1,则不存在x∈Z,使0<|x-x0|<a成立,根据“聚点”的定义可知:所给集合不存在聚点.

综上可知:只有②③正确;

故选A.

选择题
填空题