问题 填空题
已知命题p:f(x)=
1-a•3x
在x∈(-∞,0]上有意义,命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确,则a的取值范围______.
答案

x∈(-∞,0]时,3x∈(0,1],

∵函数f(x)=

1-a•3x
在x∈(-∞,0]上有意义,

∴1-a•3x≥0,∴a≤

1
3x

∴a≤1,

即使p正确的a的取值范围是:a≤1.(2分)

由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.可得ax2-x+a>0恒成立

(1)当a=0时,ax2-x+a=-x不能对一切实数恒大于0.

(2)当a≠0时,由题意可得,△=1-4a2<0,且a>0

∴a>

1
2

故q正确:a>

1
2
.(4分)

①若p正确而q不正确,则

a≤1
a≤
1
2
,即a≤
1
2
,(6分)

②若q正确而p不正确,则

a>1
a≤0,或a>1
,即a>1,(8分)

故所求的a的取值范围是:(-∞,

1
2
]∪(1,+∞).

故答案为:(-∞,

1
2
]∪(1,+∞).

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