问题 解答题
平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x∈[-
π
4
π
4
];
(1)求向量
OP
OQ
的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);
(2)求cosθ的最值.
答案

(1)∵P(1,cosx),Q(cosx,1),

OP 
=(1,cosx),
OQ
=(cosx,1)

OP
OQ
=2cosx,|
OP
||
OQ
|=1+cos2x

cosθ=

OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
=
2cosx
1+cos2x
=f(x) 

(2)f(x)=cosθ=

OP
OQ
|
OP
||
OQ
|
=
2cosx
1+cos2x
=
2
cosx+
1
cosx
且x∈[-
π
4
π
4
]

∴cosθ∈[

2
2
,1] 

令g(x)=x+

1
x

设x1,x2∈[

2
2
,1],且x1<x2

g(x)=1-

1
x2
<0在[
2
2
,1
]上恒成立(此处也可以利用单调性的定义判断)

∴g(x)=x+

1
x
在[
2
2
,1
]上是减函数.

2≤cosx+

1
cosx
3
2
2

2
2
3
≤f(x)≤1 即
2
2
3
≤cosθ≤1

单项选择题
单项选择题