问题
填空题
| 下列命题： ①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′； ②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′(
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!； ④函数f(x)=
其中真命题为______．（填序号） |
答案
①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①错误．
②因为h（x）=cos4x-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′(
)=-2sin(2×π 12
)=-2sinπ 12
=-2×π 6
=-1，所以②错误．1 2
③因为g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）⋅[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=…=1×2×…×2012=2012!，所以③正确．
④函数的导数为f′(x)=
=cosx(2+cosx)-sinx(-sinx) (2+cosx)2
，1+2cosx (2+cosx)2
由f′(x)=
＞0得1+2cosx＞0，即cosx＞-1+2cosx (2+cosx)2
，所以2kπ-1 2
＜x＜2kπ+2π 3
，k∈Z，2π 3
即函数的单调递增区间为[2kπ-
，2kπ+2π 3
]，k∈Z，所以④正确．2π 3
故答案为：③④．