①由题意可知点（2，4）在抛物线y²=8x上

故过点（2，4）且与抛物线y²=8x只有一个公共点时只能是

i）过点（2，4）且与抛物线y²=8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确；

②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，

若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．

故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）

代入抛物线y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0

∵A、B两点的横坐标之和等于5，

∴

2(k2+2)

k2

=5，k²=

4

3

，则这样的直线有且仅有两条，故②正确；

③由题意可得：双曲线x²-y²=3的渐近线方程为：y=±

1

2

x，

所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点，

所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错；

④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，

∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，

当直线与实轴垂直时，

有3-

y2

2

=1，∴y=2，

∴直线AB的长度是4，

综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确；

⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有

y=k(x-1)+1 x2- 1 2 y2=1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，

∴k＜

3

2

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）为线段AB的中点

∴

x1+x2

2

=1 即

2(k-k2)

2-k2

=1，∴k=2

当k=2，使2-k²≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错．

故答案为：①②④．