对于函数f(x)=x1+|x|(x∈R)，下列判断中，正确结论的序号是_____

问题填空题

对于函数f(x)=

1+|x|

(x∈R)，下列判断中，正确结论的序号是______（请写出所有正确结论的序号）．
①f（-x）+f（x）=0； ②当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解；
③函数f（x）的值域为R； ④函数f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）．

答案

①∵f（-x）+f（x）=

-x

1+|x|

=0，（x∈R），∴①正确；

②∵-|x|≤x≤|x|，∴-1＜-

|x|

1+|x|

≤

1+|x|

≤

|x|

1+|x|

＜1，

∴函数f（x）的值域是（-1，1）．

因此当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解，

∴②正确；

③由②判断可知③不正确；

④由①可知：函数f（x）是奇函数．

又∵f（x）=

1+x

，当x≥0时

1-x

，当x＜0时

，

当x≥0时，f′(x)=

(1+x)2

＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；

由函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（-∞，0）也单调递增，且在x=0时连续，故函数f（x）在R上单调递增．

因此④不正确．

综上可知：正确答案为①②．

故答案为①②．