∵y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

把y=

1

x

向右，向上分别平移1个单位即可得到y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象，从而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象关于点（1，1）对称，故A正确，D正确

由于函数y=

1

x

的图象关于y=-x对称，根据函数的图象的平移可知函数y=

x

x-1

的图象关于y=-（x-1）+1=2-x对称，故B正确

y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故C错误

故选C