定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数

问题填空题

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是______（写出所有真命题对应的序号）．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数λ=1；
③函数f(x)=

-x

是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
④若函数f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，则ω=

kπ

(k∈N*)．

答案

∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，

∴f（x-2）=-2f（x），

当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，

若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．

若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，

由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x₀，f（x₀）=0，

即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；

∵f（x）=2x+1是倍增函数，

∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），

∴λ=

2x+1

2x-1

≠1，故②不正确；

∵f(x)=

-x

是倍增函数，

∴e^-（x+λ）=λe^-x，

∴

ex•eλ

，

∴λ=

eλ

∈（0，1），故③正确；

∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，

∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），

∴ω=

kπ

(k∈N*)．故④正确．

故答案为：①③④．