问题
填空题
| 定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是______（写出所有真命题对应的序号）． ①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点； ②函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数λ=1； ③函数f(x)=
④若函数f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，则ω=
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答案
∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，
∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，
由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，f（x0）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=
≠1，故②不正确；2x+1 2x-1
∵f(x)=
是倍增函数，e -x
∴e-（x+λ）=λe-x，
∴
=1 ex•eλ
，λ ex
∴λ=
∈（0，1），故③正确；1 eλ
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
∴ω=
(k∈N*)．故④正确．kπ 2
故答案为：①③④．
