问题 填空题
定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,如果存在非零常数λ(λ∈R,使得对任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),则称y=f(x)为“倍增函数”,λ为“倍增系数”,下列命题为真命题的是______(写出所有真命题对应的序号).
①若函数y=f(x)是倍增系数λ=-2的倍增函数,则y=f(x)至少有1个零点;
②函数f(x)=2x+1是倍增函数,且倍增系数λ=1;
③函数f(x)=
e-x 
是倍增函数,且倍增系数λ∈(0,1);
④若函数f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函数,则ω=
2
(k∈N*)
答案

∵函数y=f(x)是倍增系数λ=-2的倍增函数,

∴f(x-2)=-2f(x),

当x=0时,f(-2)+2f(0)=0,

若f(0),f(-2)任一个为0,函数f(x)有零点.

若f(0),f(-2)均不为零,则f(0),f(-2)异号,

由零点存在定理,在(-2,0)区间存在x0,f(x0)=0,

即y=f(x)至少有1个零点,故①正确;

∵f(x)=2x+1是倍增函数,

∴2(x+λ)+1=λ(2x+1),

λ=

2x+1
2x-1
≠1,故②不正确;

f(x)=

e-x 
是倍增函数,

∴e-(x+λ)=λe-x

1
exeλ
=
λ
ex

λ=

1
eλ
∈(0,1),故③正确;

∵f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函数,

∴sin[2ω(x+λ)]=λsin(2ωx),

ω=

2
(k∈N*).故④正确.

故答案为:①③④.

多项选择题