①由x（x-3）＜0得0＜x＜3，由|x-1|＜2得-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，所以“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的充分不必要条件所以①错误．

②抛物线的标准方程为y2=

1

a

x=4×

1

4a

x，所以对应的焦点坐标为(

1

4a

，0)，所以②错误．

③函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=2ax-

1

x

，所以f'（1）=2a-1，因为函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，

则f'（1）=2a-1=1，解得a=1，此时f（x）=x²-lnx，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，由f′(x)=

2x2-1

x

＞0，解得x＞

2

2

，即函数的单调增区间为（

2

2

，+∞），所以③正确．

④由a

2

3

=

4

9

（a＞0），得a=(

2

3

)3，所以log

2

3

a=log

2

3

(

2

3

)3=3，所以④正确．

故答案为：③④．