如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道。一个质量为m1的小物体自A处由静止释放，m1沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰。
（1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上。m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开。若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放。
a．若m1=
m2，且m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m1能达到的最大高度。
b．若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发生两次碰撞，求m2与m1的比值范围。
解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动
v共=
②
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
解得
（2）撤去弹簧及固定装置后
a. m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失。设向右为正方向，有
③
④
代入m1=
m2可得
，负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是
将
带入上式，可得
b. m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
解得
，
要能发生第二次碰撞的条件是v1'<0，即m1＜m2；且|v1'|＞v2'，即|m1－m2|＞2m1，可得m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以速度
与速度为
的m2发生第二次碰撞，有
第二次碰后m1和m2的速度
⑥，
⑦
不发生第三次碰撞的条件为
≤
，即-
≤
≤
则
解不等式
得
⑧
解不等式
得m2≥3m1 或m2≤-m1 ⑨
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为