问题
选择题
点P（x，y）是曲线C：y=
①|PA|=|PB|； ②△OAB的周长有最小值4+2
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形． 其中真命题的个数是（ ）
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答案
设动点P(m，
)（m＞0），则y′=-1 m
，∴f′(m)=-1 x2
，1 m2
∴过动点P(m，
)的切线方程为：y-1 m
=-1 m
(x-m)．1 m2
①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，
)．2 m
则|PA|=
，|PB|=m2+ 1 m2
，∴|PA|=|PB|，故①正确；m2+ 1 m2
②由上面可知：△OAB的周长=2m+
+22 m
≥2×2m2+ 1 m2
+2m× 1 m
=4+22 m2× 1 m2
，当且仅当m=2
，即m=1时取等号．1 m
故△OAB的周长有最小值4+2
，即②正确．2
③假设曲线C上存在两点M(a，
)，N(b，1 a
)，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．1 b
则|ON|=
|OM|，2
⊥OM
，MN
所以
化为
=b2+ 1 b2 2 a2+ 1 a2 a(b-a)+
(1 a
-1 b
)=01 a b2+
=2(a2+1 b2
)1 a2 a3b=1
解得
，故假设成立．a= 4 3- 5 2 b= 1 a3
因此③正确．
故选D