问题 选择题
已知点A(-1,1),若曲线G上存在两点B,C,使△ABC为正三角形,则称G为T型曲线.给定下 * * 条曲线:
①y=-x+3(0≤x≤3)
②y=
2-x2
(-
2
≤x≤0)
③y=-
1
x
(x>0),
则T型曲线的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
答案

对于①,A(-1,1)到直线y=-x+3的距离为

3
2
2
,若直线上存在两点B,C,使△ABC为正三角形,则|AB|=|AC|=,
6
,以A为圆心,以
6
为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=6,联立
y=-x+3
(x+1)2+(y-1)2=6

解得x=

1+
3
2
,或x=
1-
3
2
,后者小于0,所以对应的点不在曲线上,所以①不是.

对于②,y=

2-x2
(-
2
≤x≤0)化为x2+y2=2(-
2
≤x≤≤0)
,图形是第二象限内的四分之一圆弧,此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°,所以②不是.

对于③,根据对称性,若y=-

1
x
上存在两点B、C使A、B、C构成正三角形,则两点连线的斜率为1,设B、C所在直线方程为x-y+m=0,由题意知A到直线距离为直线被y=-
1
x
所截弦长的2
3
倍,列方程解得m=-
10
3
,所以曲线③是T型线.

故选B.

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