∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线；

∴EF∥AC；

同理可证得：EH∥BD；

∵四边形EFGH是矩形，

∴EF⊥EH；

∴BD⊥AC．

即这个四边形的两条对角线的关系为互相垂直．

故答案为垂直．