（1）：（1）令t=log_ax（t∈R），

则x=a^t，f（t）=

a

a2-1

（at-a-t）．

∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）．

①当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=（

1

a

）x=a-x是减函数，y=-a^-x是增函数．

∴y=a^x-a^-x为增函数，

又因为

a

a2-1

＞0，

∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函数．

②当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，

y=（

1

a

）x=a-x是增函数，y=-a^-x是减函数．

∴u（x）=a^x-a^-x为减函数．

又因为

a

a2-1

＜0，

∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函数．

综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．

（2）易判断函数f（x）是奇函数，f（1-m）+f（1-m²）＜0⇔f（1-m）＜f（m²-1），

又f（x）为增函数，所以有

1-m＜1-m2 -1＜m-1＜1 -1＜m2-1＜1

，解得1＜m＜

2

，

故不等式的解集{m|1＜m＜

2

}；

（3）当x∈（0，2）时，f（x）-4的值恒为负数，即f（x）-4＜0恒成立，

因为f（x）为R上的单调增函数，则f（2）-4=

a

a2-1

（a2-a-2）-4≤0，

整理得a²-4a+1≤0，所以2-

3

≤a≤2+

3

，

又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．