问题 填空题
下列命题
①若两直线平行,则两直线斜率相等.
②动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.
③若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率  e=
2
2
,则  b=c  (c为半焦距)

④双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点到渐近线的距离为b.
⑤已知抛物线y2=2px上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且OA⊥OB (O为原点),则y1y2=-p2
其中正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号)
答案

对于①,当直线不存在斜率时,不正确;

对于②,以AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则有

y2+(x+a)2
y2+(x-a)2
=λ化简得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(2a+2aλ2)x+a2-a2λ2=0,所以动点M的轨迹是圆,正确

对于③,e=

2
2
,所以
c
a
=
2
2
,所以a2=2c2,所以椭圆中有b2=a2-c2=c2,所以b=c,所以③对;

对于④,双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点坐标为(±c,0),渐近线的方程为:y=±
b
a
x
,根据点到直线的距离公式得到距离=
bc
a2+b2
=b
.所以④正确;

对于⑤,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,又因为y2=2px,所以y12=2px1y22=2px2,所以y1y2=-4p2.不正确

故答案为:②③④

单项选择题