问题
解答题
若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
(Ⅰ)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明理由; (Ⅱ)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A; (Ⅲ)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A; 命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有
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答案
(Ⅰ)集合B不是“好集”.理由是:假设集合B是“好集”.
因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B.这与-2∉B矛盾.
有理数集Q是“好集”.因为0∈Q,1∈Q,
对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,
∈Q.1 x
所以有理数集Q是“好集”.
(Ⅱ)因为集合A是“好集”,
所以 0∈A.若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.
所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
(Ⅲ)命题p,q均为真命题.理由如下:
对任意一个“好集”A,任取x,y∈A,
若x,y中有0或1时,显然xy∈A.
下设x,y均不为0,1.由定义可知:x-1,
,1 x-1
∈A.1 x
所以
-1 x-1
∈A,即1 x
∈A.1 x(x-1)
所以 x(x-1)∈A.
由(Ⅱ)可得:x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.
若x+y=0或x+y=1,则显然(x+y)2∈A.
若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以 2xy=(x+y)2-x2-y2∈A.
所以
∈A.1 2xy
由(Ⅱ)可得:
=1 xy
+1 2xy
∈A.1 2xy
所以 xy∈A.
综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.
若x,y∈A,且x≠0,则
∈A.1 x
所以
=y•y x
∈A,即命题q为真命题.1 x