问题 解答题
若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
1
x
∈A
.则称集合A是“好集”.
(Ⅰ)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明理由;
(Ⅱ)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(Ⅲ)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有
y
x
∈A
答案

(Ⅰ)集合B不是“好集”.理由是:假设集合B是“好集”.

因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B.这与-2∉B矛盾.

有理数集Q是“好集”.因为0∈Q,1∈Q,

对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,

1
x
∈Q.

所以有理数集Q是“好集”.

(Ⅱ)因为集合A是“好集”,

所以 0∈A.若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.

所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.

(Ⅲ)命题p,q均为真命题.理由如下:

对任意一个“好集”A,任取x,y∈A,

若x,y中有0或1时,显然xy∈A.

下设x,y均不为0,1.由定义可知:x-1,

1
x-1
1
x
∈A.

所以 

1
x-1
-
1
x
∈A,即
1
x(x-1)
∈A

所以 x(x-1)∈A.

由(Ⅱ)可得:x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.

若x+y=0或x+y=1,则显然(x+y)2∈A.

若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.

所以 2xy=(x+y)2-x2-y2∈A.

所以 

1
2xy
∈A.

由(Ⅱ)可得:

1
xy
=
1
2xy
+
1
2xy
∈A.

所以 xy∈A.

综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.

若x,y∈A,且x≠0,则

1
x
∈A.

所以 

y
x
=y•
1
x
∈A,即命题q为真命题.

名词解释
单项选择题