问题 问答题

如图1所示,光滑矩形斜面ABCD的倾角θ=30°,在其上放置一矩形金属线框abcd,ab的边长l1=1m,bc的边长l2=0.6m,线框的质量m=1kg,电阻R=0.1Ω,线框通过细线绕过定滑轮与重物相连,细线与斜面平行且靠近;重物质量M=2kg,离地面的高度为H=4.8m;斜面上efgh区域是有界匀强磁场,磁感应强度的大小为0.5T,方向垂直于斜面向上;已知AB到ef的距离为4.2m,ef到gh的距离为0.6m,gh到CD的距离为3.2m,取g=10m/s2;现让线框从静止开始运动(开始时刻,cd边与AB边重合),求:

(1)通过计算,在图2中画出线框从静止开始运动到cd边与CD边重合时(不考虑ab边离开斜面后线框的翻转),线框的速度-时间图象.

(2)线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热.

答案

(1)解法一:

如图所示,线框abcd由静止沿斜面向上运动,到ab与ef线重合过程中,线框受恒力作用,线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动,设为a1,则:

  对M:Mg-T=Ma1

  对m:T-mgsinθ=ma1

(或对系统直接列出:Mg-mgsinθ=(M+m)a1亦可)

联立得:①、②a1=

Mg-mgsinθ
M+m
=
20-5
3
=5m/s2     

设ab恰好要进入磁场时的速度为v0,则:

v20
=2a1s1

解得 v0=

2×5×(4.2-0.6)
=6m/s   

该过程的时间为:t1=

v0-0
a1
=
6
5
=1.2s 

ab边刚进入磁场时:Mg-T=Ma2

T-mgsinθ-FA=ma2

又 FA=BIl1 I=

E
R
   E=Bl1v0

联立求解得:a2=

MgR-mgRsinθ-B2
l21
v0
(M+m)R
=
20×0.1-5×0.1-0.52×1×6
3×0.1
=0

故线框进入磁场后,做匀速直线运动,直到cd边离开gh的瞬间为止,匀速运动的时间 t2=

2l2
v 0
=
1.2
6
=0.2s 

此时M刚好着地,细绳松弛,线框继续向上做减速运动,其加速度大小为:a3=

mgsinθ
m
=gsinθ=5m/s2

直到线框的cd边离开CD线.设线框cd边离开CD的速度为v1

则得-2a3s2=

v21
-
v20

    v1=

v20
-2a3s2
=
36-2×5×3.2
=2m/s 

时间 t3=

v1-v0
-a3
=
2-6
-5
=0.8s 

则线框的速度--时间图象如右图

解法二:

如图所示,线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中,线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动.

设ab恰好要进入磁场时的速度为v0,对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理:Mgs1-mgs1sinθ=

1
2
(M+m)
v20

解得:v0=

2gs1(M-msinθ)
M+m
=
2×10×(4.2-0.6)(2-0.5)
3
=6m/s 

该过程的时间为:t1=

s1
.
v
1
=
s1
0+v0
2
=
4.2-0.6
6
2
=1.2s

ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流,所以线框受到沿斜面向下的安培力作用:FA=BIl1=

B2
l21
v0
R

故此时,F=Mg-mgsinθ-FA=20-10×0.5-

0.52×12×6
0.1
=0

故线框进入磁场后,做匀速直线运动,直到cd边离开gh的瞬间为止.t2=

2l2
v 0
=
1.2
6
=0.2s                                         

此时M刚好着地,细绳松弛,线框继续向上做减速运动,设线框的cd边到达CD线

的速度为v1,则对线框有:-mgs2sinθ=

1
2
m
v21
-
1
2
m
v20

v1=

v20
-2gs2•sinθ
=
36-2×5×3.2
=2
m/s

  t3=

s2
v0+v1
2
=
3.2
6+2
2
=0.8s 

则线框的速度--时间图象如右图

(2)解法一:Q=2FAl2=2(Mg-mgsinθ)l2=18J 

解法二:Q=Mg•2l2-mg•2l2sinθ=18J

答:

(1)线框的速度-时间图象如图所示.

(2)线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热为18J.

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